《业哥陪你学数学系列贴——含参 一元一次方程及二元一次方程组》

寒水依衡

       含参方程：顾名思义，含参方程指方程中有未知数（一般用x，y），还含有其他参数（诸如a，b，c，k这一类）的方程。同学们在解决这类问题时，犯的主要问题是很多人拿到方程或者方程组之后会埋头算，但这类题目很难直接算出答案，需要具备一定技巧和方法。接下来就给大家详细介绍几类常考题型。
解决以下问题需要大家对几个基本概念有理解，部分同学没有翻阅书本的习惯，导致概念理解缺失，进而导致不会解题，这里希望大家能回归课本，很多方法和解题格式都在课本中
1、方程的解：使方程成立的未知数的值
2、方程组的解：使方程组内所有方程都成立的未知数的值。


题型1
知解求参：在一元一次方程中属于简单题，特征也比较明显，就是会告诉方程的解，让我们求解方程中其它参数的值。




方法：解法比较固定，可以概括为4个字：知解代入。因为方程的解是是方程成立的未知数的值，所以我们把解代入原方程，还是会使等式成立，就会得到关于参数a的一个关系式，求解出a即可。这种思想在后面复杂问题中依然适用。

题型2
同解方程：此类题型在含参方程问题中属于基础题型，相信很多同学在期中考试中都曾遇到过。这类题可以看作是上一题的变型。基本原理还是利用“方程的解”这一基本概念去解题。

例题：

方法：这里虽然没有直接给出方程解的具体值，但是我们可以用含有参数a的式子去表示方程的解。需要注意的是，因为题目说有相同的解，第一个方程的解就是第二个方程的解，所以有部分同学会根据之前所学“知解代入”直接把第一个方程的解代入到第二个方程里，虽然这样也可以算出最终结果，但式子的复杂程度会增加。所以这里我们采取的技巧是：先表示出两个方程的解，然后让解相等。


此类题型还有几类变型需要注意：会在方程解的关系上作出调整，比如：解互为相反数、解互为倒数、解相差多少，这一类都可以用相同思路解决：先表示出方程的解，然后根据题目所给关系列式子。


题型3
整数解问题：此类问题最大特征是要求符合整数解这一条件。在后面学习整式乘除运算、二次方程时我们还会再次遇到。
例题：
方法：通过上题可以总结为把方程整理变形为ax=b一般形式，然后得到分式形式。变成分式形式后，因为解要求是整数，所以分子需是分母的整数倍，再利用这一条件找到所有可能的情况。

题型4
同解方程组：二元一次方程组有相同的解，与一元一次方程相比，解题思路上有所区别，有一定技巧性，需要对“方程组的解”有深刻理解。
例题：

方法：重组方程组，将方程组内能解出具体解的方程放在一起优先解。
很多同学拿到这类方程组的题目就想埋头苦算，结果发现方程组里的未知数越来越多，式子越来越复杂。出现这一现状的原因是没有深刻理解：什么是方程组的解？方程组的解是使方程组内所有方程都成立的未知数的值。所以观察上题的方程组会发现：共有4个方程，其中有第一个方程组和第二个方程组里的2式都是同时含有四个未知的，而各自的1式里只含有x,y，所以我们把这两个式子重新组成新的方程组，两个方程去求解两个未知数。能这么做的原因在于：方程组的解能使方程组内所有方程都成立，所以我们可以先解x-y=-1和x+2y=8这两个方程。


题型5
错解方程组：此类问题最明显的特征是：有一个正确的解，还有一个因不知名原因把方程组内某个参数写错得到错误解。
例题：

方法：正解可代入方程组，错解只代入不含错误参数的二元一次方程内（即没抄错或写错的方程）。
观察上面两题可以发现，都是因为参数C出错导致有错误的解。的值是没有出错的，所以方程组的错误解依然会使组内的每一个方程成立。所以我们将正解、错解都带入到不含错误C的二元一次方程内，会得到关于的a、b、c三个关系式，去求解出具体值。



题型6
整体思想求解方程组：最明显特征是看上去极其复杂的方程组，但只要我们注意系数特点就会很简单。
例题：
方法：通过上面两道例题我们会发现方程组内未知数系数和常数不变，那么即使未知数字母发生变化，最终算出来的方程组解的值是不变的。利用这一特点，我们在遇到复杂方程组求解，满足以上条件，可直接把相同系数的因式看作一个整体，使其与已知解相等，列出式子求解。



难度加大：此题难点在于要求解的方程组系数和常数部分目前和前一个方程组不相等，但可以通过等式变形转化。变形后最终要求是：系数和常数和原方程一致，与系数相乘的因数或因式与已知解相等。






题型7
多元方程求比值：最明显特征是多元方程组内未知数个数比方程个数多，无法求解出每个未知数的值，题目也不会去要求我们求值。一般求未知数比值或者含未知数分式的值。

例题：

方法：用一个未知数去表示其它的未知数，最终化简求比值。具体操作就是选一个未知数先看作是参数，其它未知数利用加减消元法消去，最后把方程组里的未知数都变成用开始选取的这个未知数去表示。

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寒水依衡 发表于 2023-10-20 15:29
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